Matematyczne triki zachwycają. Ale czy naprawdę uczą dziecko myśleć?

Film trwa kil­ka­na­ście sekund. Pada dzia­ła­nie, poja­wia się spryt­ny spo­sób i po chwi­li zna­my wynik. Mate­ma­tycz­ne tri­ki świet­nie zatrzy­mu­ją uwa­gę. Podo­ba­ją się doro­słym, czę­sto zaska­ku­ją i dają poczu­cie, że trud­ne obli­cze­nie moż­na wyko­nać nie­mal bez wysiłku.

Pro­blem zaczy­na się wte­dy, gdy skrót zosta­je pomy­lo­ny z rozu­mie­niem mate­ma­ty­ki. Jesz­cze więk­szy poja­wia się wów­czas, gdy od skró­tu roz­po­czy­na­my naukę, pomi­ja­jąc pod­sta­wy, któ­re dziec­ko dopie­ro powin­no zbudować.

Pod­czas zajęć Mat­Plus wie­lo­krot­nie spo­ty­ka­my dzie­ci, któ­re potra­fią podać popraw­ny wynik, ale nie potra­fią wyja­śnić, skąd się on wziął. Zna­ją spo­sób, lecz nie rozu­mie­ją dzia­ła­nia. Dopó­ki zada­nie wyglą­da dokład­nie tak jak przy­kład, wszyst­ko wyda­je się dzia­łać. Wystar­czy jed­nak zmie­nić jed­ną infor­ma­cję, spo­sób zapi­su albo kolej­ność danych i wyuczo­ny sche­mat prze­sta­je wystarczać.

Popraw­ny wynik nie zawsze ozna­cza zro­zu­mie­nie. A bez zro­zu­mie­nia trud­no zbu­do­wać samo­dziel­ność potrzeb­ną w kolej­nych latach nauki.

Czym jest matematyczny trik?

Mate­ma­tycz­nym tri­kiem nazy­wa­my zwy­kle krót­ki spo­sób, sche­mat albo zaob­ser­wo­wa­ną pra­wi­dło­wość, któ­ra pozwa­la szyb­ciej wyko­nać obli­cze­nie. Może być cie­ka­wy i war­to­ścio­wy. Poka­zu­je, że licz­by mają struk­tu­rę, dzia­ła­nia są ze sobą powią­za­ne, a mate­ma­ty­ka nie jest zbio­rem przy­pad­ko­wych poleceń.

Waru­nek jest jeden: trik powi­nien poja­wić się po zbu­do­wa­niu pod­staw, a nie zamiast nich.

Naj­pierw dziec­ko powin­no nauczyć się wyko­ny­wać obli­cze­nie krok po kro­ku, rozu­mieć kolej­ne dzia­ła­nia, dostrze­gać zależ­no­ści i uza­sad­niać swo­je decy­zje. Dopie­ro póź­niej może poznać skrót, któ­ry pozwo­li mu dzia­łać sprawniej.

Jeże­li odwró­ci­my tę kolej­ność, dziec­ko otrzy­ma wynik, ale zosta­nie pozba­wio­ne dro­gi, któ­ra pro­wa­dzi do mate­ma­tycz­ne­go rozumowania.

Po poka­za­niu tri­ku war­to więc zapytać:

Czy dziec­ko rozu­mie, dla­cze­go ten spo­sób działa?

Czy potra­fi przed­sta­wić go na przy­kła­dzie, rysun­ku lub kon­kret­nych przedmiotach?

Czy umie wyko­nać obli­cze­nie rów­nież bez skrótu?

Czy zauwa­ży, kie­dy moż­na zasto­so­wać pozna­ny spo­sób, a kie­dy dopro­wa­dzi on do błędu?

To wła­śnie odpo­wie­dzi na te pyta­nia odróż­nia­ją chwi­lo­wy efekt od praw­dzi­we­go ucze­nia się.

Najpierw podstawy, później skróty

Nie wol­no roz­po­czy­nać edu­ka­cji mate­ma­tycz­nej od pomi­ja­nia pod­staw. Nie poka­zuj­my dziec­ku skró­tu, zanim nauczy się ono docho­dzić do wyni­ku krok po kro­ku. Nie poda­waj­my goto­we­go sche­ma­tu, zanim zbu­du­je rozu­mo­wa­nie, któ­re pozwo­li mu z tego sche­ma­tu korzy­stać świadomie.

Dziec­ko potrze­bu­je cza­su na dzia­ła­nie, spraw­dza­nie, popeł­nia­nie błę­dów, porów­ny­wa­nie spo­so­bów i samo­dziel­ne docho­dze­nie do wnio­sków. Wła­śnie pod­czas tej dro­gi roz­wi­ja myśle­nie. Jeże­li natych­miast poda­my mu goto­wą meto­dę, odbie­rze­my mu naj­waż­niej­szą część nauki.

Coraz czę­ściej trak­tu­je­my dzie­ci tak, jak­by nie były zdol­ne do opa­no­wa­nia pod­sta­wo­wej wie­dzy mate­ma­tycz­nej. Jak­by prze­kształ­ca­nie wzo­rów, wyko­ny­wa­nie kolej­nych dzia­łań czy samo­dziel­ne wypro­wa­dza­nie zależ­no­ści było dla nich zbyt trud­ne. W dobrej wie­rze uprasz­cza­my, pod­po­wia­da­my i poka­zu­je­my szyb­sze drogi.

Tyl­ko czy rze­czy­wi­ście robi­my to dla dzieci?

A może cza­sa­mi to my, doro­śli, nie mamy cier­pli­wo­ści, aby pozwo­lić dziec­ku myśleć? Może nie wie­rzy­my, że ono albo cała gru­pa pora­dzi sobie z peł­nym pro­ce­sem? A może goto­wy trik po pro­stu uła­twia nam pro­wa­dze­nie zajęć?

To nie­wy­god­ne pyta­nia, ale war­to je sobie zadać. W edu­ka­cji nie cho­dzi prze­cież o to, aby doro­słe­mu było łatwiej prze­ka­zać spo­sób. Cho­dzi o to, aby dziec­ko napraw­dę rozu­mia­ło to, cze­go się uczy.

Nie odbierajmy dzieciom elementarnej wiedzy

Poko­le­nia dzi­siej­szych doro­słych uczy­ły się wyko­ny­wa­nia dzia­łań, prze­kształ­ca­nia wzo­rów i docho­dze­nia do wyni­ków kolej­ny­mi eta­pa­mi. Dla­cze­go więc mie­li­by­śmy zakła­dać, że współ­cze­sne dzie­ci nie są w sta­nie zbu­do­wać tych samych podstaw?

Nie są mniej zdol­ne. Potrze­bu­ją jedy­nie cza­su, dobrych pytań, odpo­wied­nio dobra­nych doświad­czeń i doro­słe­go, któ­ry nie wyko­na całej pra­cy za nie. Potrze­bu­ją dokład­nie tego same­go, cze­go my potrze­bo­wa­li­śmy jak byli­śmy dziećmi.

Szcze­gól­nie dobrze widać to na przy­kła­dzie wzo­rów mate­ma­tycz­nych i fizycz­nych. Popu­lar­ne „trój­ką­ty” pozwa­la­ją zasło­nić wybra­ną wiel­kość i odczy­tać, czy pozo­sta­łe war­to­ści nale­ży pomno­żyć, czy podzie­lić. Dają szyb­ki wynik, ale nie uczą prze­kształ­ca­nia wzo­rów. Dziec­ko może popraw­nie obli­czyć pręd­kość, dro­gę albo czas, nie rozu­mie­jąc przy tym rów­no­ści ani zależ­no­ści mię­dzy wielkościami.

Tym­cza­sem prze­kształ­ca­nie wzo­rów jest pod­sta­wą alge­bry i póź­niej­szej nauki fizy­ki. Nie war­to zastę­po­wać go obraz­ko­wym sche­ma­tem tyl­ko dla­te­go, że w danej chwi­li wyda­je się łatwiej­szy. Jeże­li dziec­ko nauczy się rozu­mieć zapis i wyko­ny­wać prze­kształ­ce­nia, pora­dzi sobie rów­nież wte­dy, gdy wzór będzie bar­dziej zło­żo­ny i nie da się go scho­wać w żad­nym trójkącie.

Lite­ry ukry­te w “trój­ką­cie” nie powin­ny być fun­da­men­tem wie­dzy, któ­rej nigdy nie zbu­do­wa­no. Mno­że­nie na pal­cach nie może zastą­pić odkry­wa­nia zależ­no­ści mię­dzy licz­ba­mi i szu­ka­nia wła­snych spo­so­bów na zna­le­zie­nie wła­ści­we­go wyni­ku. Zamia­na jed­no­stek nie powin­na być dzia­ła­niem bez jego zro­zu­mie­nia. Suma kątów w trój­ką­cie nie powin­na być wie­dzą wyuczo­ną na pamięć bo tak jest i koniec kropka, …

Kiedy trik pomaga dziecku?

Uprosz­cze­nie nazwa­ne prze­ze mnie mate­ma­tycz­nym tri­kiem może być dobrym począt­kiem roz­mo­wy o mate­ma­ty­ce. Przy­cią­ga uwa­gę i wywo­łu­je natu­ral­ne pyta­nie: „Jak to moż­li­we?”. Może pomóc dziec­ku zauwa­żyć zależ­ność, któ­rej wcze­śniej nie dostrze­ga­ło, i zachę­cić je do eks­pe­ry­men­to­wa­nia z kolej­ny­mi liczbami.

War­to­ścio­wy trik nie zamy­ka jed­nak tema­tu, tyl­ko wła­śnie go otwiera.

Po pozna­niu szyb­kie­go spo­so­bu dziec­ko powin­no mieć możliwość:

• spraw­dze­nia go na wie­lu przykładach,
• poszu­ka­nia uzasadnienia,
• przed­sta­wie­nia wła­sne­go toku myślenia,
• porów­na­nia róż­nych spo­so­bów rozwiązania,
• wyko­rzy­sta­nia pozna­nej zależ­no­ści w nowym problemie.

Wte­dy efek­tow­ny skrót sta­je się zapro­sze­niem do myśle­nia. Dziec­ko nie tyl­ko wie, co nale­ży zro­bić, lecz tak­że rozu­mie, dla­cze­go może tak postąpić.

Kiedy matematyczny trik zaczyna przeszkadzać?

Trik szko­dzi nauce wte­dy, gdy zamiast zmie­rzyć się z pro­ble­mem i zbu­do­wać potrzeb­ne pod­sta­wy, dziec­ko otrzy­mu­je szyb­ką instruk­cję pro­wa­dzą­cą do wyniku.

Zapa­mię­tu­je kolej­ne ruchy, ale nie roz­wi­ja poję­cia mate­ma­tycz­ne­go, któ­re się za nimi kry­je. Nie rozu­mie, dla­cze­go spo­sób dzia­ła ani z cze­go wyni­ka­ją wyko­ny­wa­ne działania.

Z zewnątrz może wyglą­dać to jak suk­ces. Dziec­ko poda­je popraw­ną odpo­wiedź, otrzy­mu­je punk­ty i lep­szą oce­nę. Jed­no­cze­śnie może budo­wać w sobie prze­ko­na­nie, że mate­ma­ty­ka jest zbio­rem nie­zro­zu­mia­łych reguł, któ­re trze­ba zapa­mię­tać. Wie, że „tak się robi”, ale nie wie dlaczego.

Nad­mier­ne pole­ga­nie na tri­kach może spra­wić, że dziecko:

• wyko­nu­je dzia­ła­nia auto­ma­tycz­nie, lecz nie potra­fi ich wyjaśnić,
• sto­su­je pozna­ny spo­sób rów­nież tam, gdzie nie powinno,
• czu­je się bez­rad­ne, gdy zada­nie wyglą­da ina­czej niż przykład,
• sku­pia się wyłącz­nie na szyb­ko­ści i popraw­nym wyniku,
• zaczy­na trak­to­wać wła­sne szu­ka­nie roz­wią­za­nia jako stra­tę czasu,
• cze­ka na kolej­ną goto­wą pod­po­wiedź zamiast pró­bo­wać samodzielnie.

Mate­ma­ty­ka nie pole­ga na roz­po­zna­wa­niu goto­wych sza­blo­nów. Jest sztu­ką zauwa­ża­nia rela­cji, sta­wia­nia pytań, prze­wi­dy­wa­nia, spraw­dza­nia i wycią­ga­nia wniosków.

Poprawny wynik to tylko część sukcesu

Dziec­ko potrze­bu­je zarów­no spraw­no­ści w wyko­ny­wa­niu obli­czeń, jak i rozu­mie­nia pojęć, dobie­ra­nia stra­te­gii, logicz­ne­go uza­sad­nia­nia oraz prze­ko­na­nia, że mate­ma­ty­ka ma sens i moż­na ją zrozumieć.

Nie musi­my wybie­rać pomię­dzy spraw­nym licze­niem a głę­bo­kim rozu­mie­niem. Dobre naucza­nie roz­wi­ja jed­no i dru­gie, ale zacho­wu­je wła­ści­wą kolejność.

Naj­pierw dziec­ko doświad­cza, porów­nu­je, obli­cza i odkry­wa zależ­ność. Uczy się cier­pli­wie prze­cho­dzić przez kolej­ne eta­py i rozu­mieć, co z cze­go wyni­ka. Dopie­ro póź­niej może korzy­stać ze skró­tu świa­do­mie, ponie­waż wie, skąd się on bie­rze i potra­fi sobie pora­dzić rów­nież bez niego.

Jak pracujemy z matematycznymi trikami w MatPlus?

W Mat­Plus lubi­my moment, w któ­rym dziec­ko mówi: „Już wiem!”. Nie zatrzy­mu­je­my się jed­nak na efek­cie zasko­cze­nia ani na popraw­nym wyniku.

Dzie­ci spraw­dza­ją, porów­nu­ją, ukła­da­ją, prze­su­wa­ją, mie­rzą, obli­cza­ją i szu­ka­ją wła­snych wyja­śnień. Korzy­sta­ją z Mat­Mat oraz innych pomo­cy dydak­tycz­nych, dzię­ki któ­rym mogą zoba­czyć i doświad­czyć zależ­no­ści, zanim zapi­szą ją języ­kiem symboli.

Nauczy­ciel nie poda­je goto­wej dro­gi do wyni­ku. Pro­wa­dzi roz­mo­wę, sta­wia kolej­ne pyta­nia i two­rzy warun­ki, w któ­rych dzie­ci docho­dzą do roz­wią­za­nia samo­dziel­nie. Mała gru­pa pozwa­la im pozna­wać róż­ne spo­so­by, uza­sad­niać swo­je pomy­sły i zauwa­żać, że do jed­ne­go wyni­ku może pro­wa­dzić kil­ka dróg.

Tak budu­je się ela­stycz­ność myśle­nia. Dziec­ko nie tyl­ko wie, co zro­bić w zna­nym przy­kła­dzie. Potra­fi wyko­rzy­stać swo­je rozu­mie­nie rów­nież w nowej sytuacji.

Dla­te­go w Mat­Plus nie roz­po­czy­na­my nauki tablicz­ki mno­że­nia od „magicz­nych pal­ców”, któ­rych odpo­wied­nie uło­że­nie pozwa­la odczy­tać goto­wy wynik. Naj­pierw dzie­ci odkry­wa­ją, czym jest mno­że­nie, z cze­go wyni­ka, gdzie spo­ty­ka­my je w codzien­nym życiu i jakie zależ­no­ści wystę­pu­ją pomię­dzy liczbami.

Układ pal­ców moż­na póź­niej potrak­to­wać jako cie­ka­wost­kę. Nie może on jed­nak zastą­pić fun­da­men­tów, któ­re dziec­ko powin­no samo­dziel­nie zbudować.

To dorośli muszą przestać iść na skróty

Mate­ma­tycz­ne tri­ki nie poja­wia­ją się w edu­ka­cji dla­te­go, że dzie­ci ich potrze­bu­ją. Naj­czę­ściej wpro­wa­dza­ją je dorośli.

Cza­sa­mi robi­my to, ponie­waż nie doce­nia­my moż­li­wo­ści dziec­ka. Cza­sa­mi oba­wia­my się, że gru­pa nie pora­dzi sobie z trud­niej­szym rozu­mo­wa­niem. Innym razem chce­my szyb­ciej zoba­czyć efekt albo uła­twić sobie tłumaczenie.

Tyl­ko że szyb­ciej nie zawsze ozna­cza lepiej.

Jeże­li napraw­dę zale­ży nam na roz­wo­ju dzie­ci, musi­my pozwo­lić im przejść przez cały pro­ces. Nie wyrę­czaj­my ich w myśle­niu. Nie trak­tuj­my wysił­ku inte­lek­tu­al­ne­go jak cze­goś, przed czym trze­ba je chro­nić. Nie pozba­wiaj­my ich ele­men­tar­nej wie­dzy tyl­ko dla­te­go, że może­my poka­zać łatwiej­szy sposób.

Dziec­ko ma pra­wo poznać pod­sta­wy. Ma pra­wo nauczyć się obli­czać, prze­kształ­cać, uza­sad­niać i docho­dzić do wyni­ku krok po kro­ku. Ma rów­nież pra­wo prze­ko­nać się, że potra­fi pora­dzić sobie z czymś wymagającym.

To wła­śnie wte­dy powsta­je praw­dzi­wa pew­ność sie­bie. Nie z szyb­kiej odpo­wie­dzi, lecz ze świa­do­mo­ści: „Rozu­miem, jak to dzia­ła i potra­fię zro­bić to samodzielnie”.

Trik ma zaciekawić. Rozumienie ma zostać z dzieckiem

Zanim poka­że­my dziec­ku kolej­ne uprosz­cze­nie, zatrzy­maj­my się na chwi­lę. Zasta­nów­my się, czy poma­ga­my mu rozu­mieć, czy jedy­nie szyb­ciej uzy­skać wynik. Czy skrót roz­wi­ja jego myśle­nie, czy zastę­pu­je etap, któ­re­go nie chcia­ło nam się wspól­nie przejść?

Łatwo poka­zać coś, co dzia­ła. Znacz­nie trud­niej cier­pli­wie zbu­do­wać pod­sta­wę. Na tym jed­nak pole­ga odpo­wie­dzial­na edukacja.

Uwierz­my w moż­li­wo­ści dzie­ci. Nie odbie­raj­my im wysił­ku inte­lek­tu­al­ne­go i satys­fak­cji pły­ną­cej z samo­dziel­ne­go odkry­cia. Nie poka­zuj­my goto­wych, szyb­kich spo­so­bów, zanim dziec­ko nie zro­zu­mie, dla­cze­go moż­na z nich korzystać.

Szyb­ki wynik robi wra­że­nie przez chwi­lę. Samo­dziel­ne myśle­nie zosta­je na lata.

W Mat­Plus dzie­ci uczą się rozu­mieć mate­ma­ty­kę, a nie tyl­ko odtwa­rzać goto­we spo­so­by. Pol­ska Meto­da Mat­Plus pro­wa­dzi je od doświad­cze­nia i kon­kre­tu do coraz bar­dziej świa­do­me­go i samo­dziel­ne­go myśle­nia. Znajdź naj­bliż­szą Pra­cow­nię Mate­ma­tycz­ną Mat­Plus i zapisz dziec­ko do gru­py na matplus.pl.

Joan­na Grodecka
Autor­ka Pol­skiej Meto­dy MatPlus
Pre­zes MatPlus